ViscMathLogarithms

Pēdējais mainījis Kalvis Apsītis 2012-01-26 00:31

Eksponentes un logaritmi

Šajā nodarbībā atkal risinājām uzdevumus no dzeltenās Kriķa/Ziobrovska grāmatas.
Starp izklaidējošām lietām bija formulas http://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=\log_B%20A%20=%20\frac{%20\log_C%20A%20}{\log_C%20B} izvedums jeb pierādījums - potencējot abas pārbaudāmās identitātes puses (t.i. kāpinot skaitli B attiecīgi abās vienādības pusēs uzrakstītajās pakāpēs).

Šo logaritma bāzes maiņas formulu nākas izmantot piemēram, tad, ja Jums ir jāatrod http://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=\frac{\log_{10}%204}{\log_{10}%208} - (šeit logaritma bāze 10 ir "patvaļīgs" skaitlis, kurš nav divnieka pakāpe - t.i. ne saucēju ne skaitītāju precīzi izrēķināt nevar). Šādā gadījumā ir ērtāk to pārveidot vispirms par http://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=\log_8%204 - un pēc tam pielietojot logaritma bāzes maiņas formuliņu vēlreiz - par http://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=\frac{\log_{2}%204}{\log_{2}%208}%20=%20\frac{2}{3}. 

Formulas izvedums

Pierādīsim formulu: http://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=\log_B%20A%20=%20\frac{%20\log_C%20A%20}{\log_C%20B}

Ieviešam apzīmējumu X - http://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=\log_B%20A%20=%20X  (Ievērosim, ka mēs pašlaik vēl nezinām, vai šis X ir vienāds arī ar vienādības labo pusi - t.i. ar http://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=\frac{%20\log_C%20A%20}{\log_C%20B} . Tas mums būs jāpamato.)

Pēc logaritma definīcijas iegūstam, ka http://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=B^X%20=%20A

Abas vienādības puses logaritmējam pie bāzes "C": http://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=\log_C%20B^X%20=%20\log_C%20A

Kāpinātāju "X" varam iznest pirms logaritma: http://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=X%20\cdot%20\log_C%20B%20=%20\log_C%20A

Izsakām X: http://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=X%20=%20\frac{\log_C%20A}{%20\log_C%20B}

Abas puses pierādāmajā nevienādībā ir vienādas ar X, un tātad tās vienādas arī savā starpā. (Pierādījuma beigas)

Centralizētajā eksāmenā šādi un līdzīgi formulu izvedumi netiek prasīti. Tas tiek dots vienkārši kā neliela ilustrācija tam, ka logaritmu īpašības ir ne mazāk dabiskas un pašsaprotamas kā citu aritmētisko operāciju (saskaitīšanas, reizināšanas, dalīšanas u.c.) īpašības. 

Video(Salman Khan): Eksponentes un Logaritmi

  1. Logaritma jēdziena ievads
  2. Logaritmu īpašības - 1 - reizinājuma un dalījuma logaritms.
  3. Logaritmu īpašības - 2 - pakāpes logaritms, logaritma bāzes maiņa: http://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=\log_B%20A%20=%20\frac{%20\log_C%20A%20}{\log_C%20B}
  4. Uzdevumi par logaritma definīciju - Vienkārši skaitļošanas piemēri - http://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=5^x=17 un http://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=\log_{10}x%20=%20-2 un http://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=\log_3%20\;%20\frac{1}{9}%20=%20x
     Šis piemērs arī parāda, kā izveidot hipersaiti uz kāda YouTube klipa konkrētu laika momentu - piemēram, ja mūs interesējošā klipa daļa ir 3 minūtes 25 sekundes pēc klipa sākuma, tad aiz YouTube URL adreses jānorāda parametrs "t=3m25s", kuru no adreses atdala ar "&" vai "?" - piemēram, http://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=QwOcCoHsZfM&t=3m25s - šo URL vietrādi var izmēģināt jebkurā pārlūkprogrammā. 
  5. Logaritmu pārveidojumi un kļūdas - atrast kļūdu, kas radusies vienkāršojot izteiksmi http://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=\log_5%20%28%202x^2%20-%203x%20%2B%201%20%29%20-%20\log_5%20%28x%20-%201%29%20%2B%20\log_5%20125%20=%206
  6. Eksponentfunkciju piemēri - atrast atbilstošo funkcijas vērtību tabulu funkcijai, kas uzdota ar vienādību http://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=f%28x%29%20=%203^{-x}%20-%202
  7. Logaritmiski vienādojumi - 1
  8. Logaritmiski vienādojumi - 2
  9. Logaritmisku funkciju grafiki
  10. Logaritmisku vienādojumu atrisināšana
  11. Logaritmu summa, ja tiem ir vienāda bāze - uzdevumi par formulu http://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=\log_b%20a%20\cdot%20c%20=%20\log_b%20a%20%2B%20\log_b%20c
  12. Logaritmu starpība, ja tiem ir vienāda bāze - uzdevumi par formulu http://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=\log_b%20\frac{a}{c}%20=%20\log_b%20a%20-%20\log_b%20c
  13. Pakāpes logaritms - uzdevumi par formulu http://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=\log_x%20%28%20y^z%20%29%20=%20z%20\cdot%20\log_x%20y
  14. Dažādas logaritmu īpašības vienkāršojot izteiksmes
  15. Eksponentvienādojumu risināšana
  16. Logaritmisko vienādojumu risināšana
  17. Logaritma funkcijas lietojums - Kerolīna ieguldīja bankas kontā $1000 ar 3% depozīta pieaugumu gadā (kur procentu pieaugumu rēķina ik mēnesi no visas uzkrātās naudas - t.sk. visiem jau agrāk saņemtajiem procentiem, t.s. "compound interest"). Noapaļojot rezultātu līdz tuvākajam pilnajam gadam, noteikt, pēc cik ilga laika viņas depozīta kontā būs $1500.
Tagi:
Izveidojis Kalvis Apsītis 2012-01-25 19:52
    
This wiki is licensed under a Creative Commons 2.0 license
XWiki Enterprise 6.4 - Documentation