Latvijas atklātā

Latvijas atklātā

Sk. NMS Uzdevumu arhīvu

5.klase

1. Desmit kastēs kopā atrodas 5 āboli (nevienā kastē nav vairāk par vienu ābolu). Kastes atver pa vienai. Cik kastu var būt atvērts brīdī, kad pirmoreiz kļūst skaidrs, kurās kastēs ir āboli?
   Pievērst uzmanību formulējumam - nav prasīts lielākais kastu skaits, bet visi iespējamie varianti.
2. Pa apli stāv Andris, Dzintars, Gunārs, Juliata, Maija un Skaidrīte. Visi attālumi starp bērniem ir dažādi. Katrs bērns nosauc sev vistuvāk stāvošā bērna vārdu. Cik vārdi var tikt nosaukti divreiz? (Attālumus starp bērniem mēra 'pa apli'.)
3. Uz kādas planētas tiek lietotas 2007 dažādas valodas. Kāds mazākais daudzums vārdnīcu pietiekams, lai no katras valodas varētu tulkot uz katru citu? (Pieļaujamas vairākpakāpju tulkošanas; ar katru vārdnīcu tulko tikai vienā virzienā, piemēram, no latviešu valodas uz lietuviešu valodu, bet ne otrādi.)
   Var zīmēt orientētu grafu
4. Dotas 4 pēc ārēja izskata vienādas lodītes. Uz tām uzrakstīts attiecīgi '1 grams', '3 grami', '4 grami', '7 grami'. Zināms, ka tieši vienas lodītes masa ir citāda, nekā norāda uzraksts uz tās. Kā ar divām svēršanām uz sviras svariem bez atsvariem atrast šo lodīti?
   Katrai svēršanai ir 3 iespējamie rezultāti. Sāk zīmēt lēmumu koku .
5. Kādā vislielākajā daudzumā dažādu gabalu var sagriezt kvadrātu ar izmēriem rūtiņas? Griezumiem jāiet pa rūtiņu līnijām. Gabalus uzskata par dažādiem, ja tos nevar novietot tā, lai tie pilnīgi sakristu viens ar otru.

1. Trīsciparu skaitļa x simtu cipars ir a, desmitu cipars ir b un vienu cipars ir c. Pierādīt: ar 7 dalās visi tie un tikai tie skaitļi x, kuriem izteiksme 2a+3b+c dalās ar 7.
   Spriest abos virzienos. Censties lietot iespējami daudz kvalitatīvus spriedumus (dalās/nedalās), minimāli izteikties par atlikumiem.
   .
2. Uz tāfeles uzrakstīti vairāki skaitļi. Katrs no tiem vienāds ar vienu desmito daļu no pārējo skaitļu summas. Cik skaitļu uzrakstīts? Atrisināt šo uzdevumu divos gadījumos:
   1. 1. ir zināms, ka visi uzrakstītie skaitļi ir pozitīvi,
      2. par skaitļiem nav zināms, vai tie ir pozitīvi, negatīvi vai nulle.
         Var diskutēt par to, vai eksistē 'vismazākais pozitīvais skaitlis' utml.
3. Kvadrāts sastāv no 4x4 rūtiņām. Katrā no tām ierakstīts vesels pozitīvs skaitlis. Ar vienu gājienu drīkst pieskaitīt vieninieku skaitļiem divās rūtiņās, kurām ir kopīga mala. Vai var panākt, lai visi skaitļi rūtiņās būtu vienādi, ja sākotnējais izvietojums ir tāds, kāds parādīts 1.zīm. (a), (b) un (c)?
   
   
   Vienā gadījumā to tiešām var izdarīt. Otrajā gadījumā vienkāršs invariants (pāru un nepāru skaitļi). Trešajā gadījumā sarežģītāks invariants - šaha galdiņa iekrāsojums.
4. Kvadrāts sastāv no 8x8 rūtiņām. Kādu mazāko daudzumu rūtiņu var atzīmēt, lai nekādām divām atzīmētām rūtiņām nebūtu ne kopīgas malas, ne kopīga stūra, bet katrai neatzīmētai rūtiņai būtu vai nu kopīga mala, vai kopīgs stūris ar kādu atzīmēto?
5. Seši rūķīši brīvdienās apciemo cits citu. Katru dienu daži rūķīši sēž mājās un neiet nekur, bet citi viņus apciemo (katrs rūķītis vienā dienā var veikt vairākus apciemojumus). Kāds ir mazākais dienu skaits, ar ko pietiek, lai katrs rūķītis varētu apciemot katru citu?
   Atbilstoši katras ciemošanās iznākumam rūķīšus var sadalīt 2 kategorijās - mājās palikušie un ciemos gājušie