Kvadrātvienādojumi

Kvadrātvienādojumi

1. Kvadrātvienādojuma ax² + bx + c = 0 atrisinājuma formulas izvedums. Pilnā kvadrāta atdalīšana.
   Var pieminēt arī, kādeļ formulas izvedumā nenotiek dalīšana ar nulli (t.i. ar 'a'), kādēļ kvadrātsaknei priekšā ir 'pluss-mīnuss' zīme, kādēļ kvadrātsakne no pilna kvadrāta ir modulis
2. Funkciju y=f(x) grafiku pārbīdes, kad funkcijas vērtībai vai argumentam pieskaita vai atņem kādu konstanti.
3. Vjeta teorēma.
4. Vjeta teorēmas saistība ar kvadrāttrinoma dalīšanu reizinātājos.
   Var pamatot, ka ar dotajām saknēm x₁ un x₂ eksistē tikai viens kvadrātvienādojums.
5. Laika trūkuma dēļ netiek pieminētas parabolas grafika ģeometriskās īpašības (to punktu ģeometriskā vieta, kas atrodas vienādā attālumā no punkta (fokusa) un taisnes (direktrises); parabolas grafika izliektība un izmantojums nevienādībās, utml.

Uzdevumi

1. Atrisināt vienādojumu sistēmu:
   x+y=1
   1/x+1/y=2008
2. Zināms, ka kvadrātvienādojuma x²+px+q = 0 saknes ir x₁ un x₂. Izteikt x₁² + x₂² ar koeficientiem p un q, neizmantojot kvadrātsaknes.
3. (34.atkl. 8.kl.) Kvadrātvienādojuma x²+px+q=0 saknes ir x₁ un x₂, bet kvadrātvienādojuma x²+ax+b=0 saknes ir x₃ un x₄. Nav tādas x vērtības, ar kuru abu vienādojumu kreisās puses būtu vienādas savā starpā. Pierādīt, ka x₁+x₂=x₃+x₄.

Uzdevumi no nesenām olimpiādēm

1. Ir zināms, ka f(x) un g(x) - kvadrāttrinomi, pie tam gan 2f(x)+g(x), gan f(x)-g(x) ir tāds kvadrāttrinoms, kuram ir tikai viena sakne (jeb, citādi sakot, abas saknes ir vienādas). Dots arī, ka kvadrāttrinomam f(x) ir divas dažādas saknes. Pierādīt, ka kvadrāttrinomam g(x) sakņu nav. (2007-08.g. rajona olimpiāde, 11.kl.)
2. Dots, ka f(x) = x² + 8x +12. Atrisināt vienādojumu f(f(f(f(x)))) = 0. (2007-08.g. rajona olimpiāde, 10.kl.)
3. Katram no kvadrāttrinomiem x² + ax + b un x² + c +d ir divas dažādas saknes; visi skaitļi a, b, c, d ir dažādi. Minēto četru sakņu summas puse ir vienādojuma x² + ax + b = x² + c +d sakne. Pierādīt, ka pirmā kvadrāttrinoma sakņu kvadrātu summa vienāda ar otrā kvadrāttrinoma sakņu kvadrātu summu. (2007-08.g. rajona olimpiāde, 9.kl.)

Citi uzdevumi par kvadrātvienādojumiem

90.136, 90.61, 89.151, 89.82, 89.61, 89.21, 88.61, 87.126, 87.111, 87.61, 87.36 ("Matemātikas olimpiāžu un konkursu uzdevumi"; Rīga, "Zvaigzne", 1992).

Norādes

1. Kvadrātvienādojumi
2. Parabolas